Euclide, l'abbate e le corde vibranti

L’ondeggiamento ritmico e, se così posso dire, armonioso del posteriore delle nostre Dame di rango Circolare sarà invidiato e imitato dalla moglie di un comune equilatero, che, da parte sua, non riuscirà a ottenere niente di più di un’oscillazione monotona come il tic-tac di un pendolo; e il tic-tac dell’Equilatera sarà nondimeno ammirato e copiato dalla moglie dell’Isoscele ambizioso di progredire socialmente, anche se nelle Femmine della sua famiglia il movimento posteriore di qualsiasi genere non è diventato ancora una necessità vitale (in "Flatlandia"  di Edwin A. Abbot)

Per la seconda volta un pensiero di 1pensiero mi consente di scrivere ancora su questo Blog. Parliamo di geometria, finalmente. 

Qualcosa abbiamo detto, in un certo senso, nel post su Nonno Albert che trasformò la legge fisica con la quale facciamo i conti non propriamente matematici ogni giorno quanto ci alziamo dal letto, quella gravitazionale,  in una legge geometrica.

Ogni volta che rifletto sulla Relatività Generale non posso che inchinarmi al genio che l’ha scoperta ed alla Mente Raffinata che l’ha inventata (d’altra parte è proprio di nonno Albert la celebre frase: “Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist er nicht” ossia Dio è sottile, ma non è malevolo).   

La storia che sto per narrarvi inizia tanti e tanti anni fa, ma per una volta, non comincerò dall’inizio. 

Edwin A.Abbot nacque a Londra il 20 dicembre 1838. Da ragazzo frequentò la City of London School, proseguì gli studi a Cambridge, fu ordinato pastore, si sposò e all'età di ventisette anni tornò come preside nella scuola londinese in cui aveva studiato.

Scrisse numerosi volumi di grammatica e di teologia. “Flatland. A romance of many dimension” fu la sua unica incursione nel campo della letteratura fantastica. Il libro, che nella traduzione italiana ha per titolo:"Flatlandia. Racconto fantastico a più dimensioni" (a cura di M. d'Amico) e pubblicato per i tipi di Adelphi, è un capolavoro del suo genere, soprattutto perché anticipa profeticamente intuizioni profonde dei grandi matematici del XX secolo.

 Come tutti i capolavori Flatlandia si presta a diversi livelli di lettura: quello allegorico e quello divulgativo, quello metafisico, trascendente e quello satirico.

Il concetto di spazio che il nostro intuito, per dirla Kantianamente, ci suggerisce quasi con evidenza è sufficiente a descrivere il mondo nel quale viviamo? Le basi, gli assiomi sui quali si basa la geometria che studiamo a scuola sono quelli fissati dal mio amico Euclide (quello del Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, Euclide dimostra infatti il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica nel libro IX dei suoi Elementi dove si legge la seguente proposizione numero 20: “I numeri primi sono più di una qualsiasi assegnata moltitudine di numeri primi”)  in un celeberrimo libro: “Gli Elementi”.

Degli Elementi non ci sono mai pervenute copie dirette e autografe, né abbiamo notizie certe sul suo autore. La data di composizione si fa risalire al 300 a.C.  Probabilmente Euclide, come Omero (o come Nicolas Bourbaki nel secolo scorso) non fu mai esistito. Forse era solo lo pseudonimo di in gruppo di pensatori e matematici greci del III-IV a.C. 

La versione attuale è stata ricostruita a partire da commenti, osservazioni e riassunti di diversi autori. L'opera di riferimento principale è quella di Teone di Alessandria, vissuto nella seconda metà del secolo IV d.C., 700 anni dopo Euclide. Questi ne semplificò il linguaggio, aggiunse qualche passo alle dimostrazioni e inserì alcuni teoremi secondari. 

Gli Elementi si compongono di 13 libri, nei quali si trova esposta sistematicamente tutta la geometria elementare.

Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e la frese rituale con cui si chiudono: "come dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare", “Quod Erat Demostrandum”, per i teoremi. 

Circa 400 anni dopo Teone, una copia del suo manoscritto (o una copia di una copia) viene tradotta in arabo. Intorno al 1120, una copia del testo arabo (o, di nuovo, una copia di una copia) viene tradotta in latino da Adelardo di Bath.

Nel 1270, la traduzione di Adelardo fu riveduta, anche alla luce di altre fonti arabe (a loro volta derivate da altre versioni greche del manoscritto di Teone) da Campano di Novara.

La prima edizione a stampa degli Elementi uscì a Venezia nel 1482 e fu uno dei primi libri stampati.

Successivamente, sono state ritrovate altre versioni greche del manoscritto di Teone e una copia greca che probabilmente è precedente a quella di Teone. La ricostruzione attuale si basa sulla versione del filologo danese J. L. Heiberg risalente al 1880 e su quella dello storico inglese T. L. Heath del 1908. 

La prima edizione italiana è dovuta al matematico italiano Federigo Enriques e risale al 1935. Nel 1970 compare nei tipi della UTET un'altra versione italiana, tradotta da Lamberto Maccioni e commentata da Attilio Fraiese. 

Da quando il testo di Euclide fu disponibile alla comunità di filosofi e matematici, dall’antichità fino alla seconda metà dell’Ottocento, un postulato sulle rette, il quinto per la precisione ha destato un interesse particolare, perché si pensava che, alla fine, potesse essere dimostrato a partire dagli altri 4. "Per un punto esterno a una retta" dice questo postulato, nella versione semplificata proposta dal matematico inglese John Playfair "passa una ed una sola parallela". Nonostante gli sforzi, nessuno ci riuscì mai. 

Agli inizi del ‘700 fu un uomo di fede come Abbot, il gesuita italiano Girolamo Saccheri  a fare un tentativo diverso: presuppose che il postulato fosse sbagliato, con l’idea di arrivare a incongruenze logiche che avrebbero dimostrato la sua tesi: la reductio ad absurdum, dimostrazione per assurdo. 

Ma i conti di Saccheri non portarono ad alcuna incongruenza logica. Il gesuita, disperato, si ritrovò così fra le mani una pseudogeometria che funzionava anche senza quinto postulato.
La considerò "ripugnante" e ne dedusse di avere commesso qualche errore.

Quasi un secolo dopo, nel 1826, un matematico russo, Nikolaj Lobacevskij, diede comunicazione dei suoi studi sull'impossibilità di dimostrare il quinto postulato a partire dai precedenti, studi che lo portarono a stabilire i principi della geometria non-euclidea.

Nel 1829 pubblicò il primo scritto relativo alla geometria che chiamò immaginaria o anche pangeometria: seguì tutta una serie di opere che dovevano perfezionare e diffondere in Europa le sue concezioni.

Lobacevskij considerò la nuova geometria non come una costruzione ipotetico-deduttiva libera da ogni legame con la realtà esterna e paga della sua validità logica bensì esclusivamente come legge dello spazio fisico che, come nel caso di altre leggi fisiche, deve essere dimostrata attraverso esperienze , per esempio osservazioni astronomiche.

Sostenne inoltre che "talune forze della natura seguono una geometria, altre una (loro) particolare geometria".

Tale concezione, che influì decisamente sull'opera di nonno Albert, è forse il tratto più saliente dell'opera di Lobacevskij, più ancora della priorità della scoperta di una geometria non-euclidea, alla quale era pervenuto già Gauss nel 1799, senza renderla pubblica, e che Bolyai, indipendentemente, sviluppò negli stessi anni.

Se il quinto postulato era indimostrabile poteva allora perfino essere sostituito con un altro molto diverso e altrettanto valido, proprio perché postulato a priori: "Per ogni punto esterno ad una retta passano almeno due parallele".

In questo modo, Lobacevskij e Bolyai arrivarono a sviluppare una geometria nuova, più tardi definita iperbolica, nella quale per esempio non valeva il teorema di Pitagora ed erano invece possibili stranezze come la quadratura del cerchio (cioè la costruzione con riga e compasso del lato del quadrato avente la stessa area di un cerchio dato) che è impossibile nella geometria euclidea.

Un po’ più tardi, verso la metà dell’Ottocento, il tedesco Bernard Riemann, l’inventore della musica dei primi, creò un’altra geometria non euclidea basandosi sull’assunzione che di parallele non ce ne fossero affatto. 

L’intervento di Riemann fu però più radicale di quello di Lobacevskij e Bolyai, dal momento che l’assenza totale di parallele è incompatibile anche con altri postulati e assiomi di Euclide, che dovettero essere modificati a loro volta. Questa seconda geometria alternativa fu definita "ellittica". 

La geometria iperbolica si può però rappresentare anche con un modello diverso: un disco all’interno del quale la velocità della luce sia in ogni punto uguale alla distanza fra la circonferenza e il punto stesso, come dimostrò il matematico francese Jules Henri Poincaré.

In questo modello, i raggi di luce (le linee "rette") prendono la forma di archi di cerchio e sono sempre perpendicolari al disco.  Un’idea che affascinò a tal punto l’artista olandese Maurits Cornelius Escher da ispirarne alcune sue opere, come l’incisione "Limite del cerchio IV", nota anche come "Paradiso e inferno". 

n essa è raffigurato un cerchio piastrellato con figure di angeli e diavoli che diventano sempre più piccole quanto più ci si avvicina al bordo (esattamente come accade alla velocità della luce nel modello di Poincaré).

Nel palcoscenico matematico imbastito da Hermann Minkowski per spiegare “geometricamente” la teoria di relatività di Einstein, il paraboloide iperbolico prende il posto della sfera. Così come la superficie della sfera è il "mondo" per la geometria sferica, così il paraboloide iperbolico è il "mondo" per la geometria iperbolica, e si chiama appunto spazio di Lobacevskij.

Esso ha distanza unitaria dall'origine ed ha una connessione davvero interessante: la proiezione stereografica dal punto (-1;0;0) trasforma lo spazio di Lobacevskij nel disco di Poincarè.

Ancora più stupefacente è il fatto che alcuni calcoli nella teoria quantistica dei campi prevedono la continuazione analitica del tempo da coordinata reale ad immaginaria (rotazione di Wick), e lo spazio-tempo diventa riemanniano.

Ad esempio la teoria di Hartle e Hawking sull'origine non singolare dell'Universo è basata sull'uso del tempo immaginario perché quando le dimensioni dell'Universo sono inferiori a 10^-43m si suppone valida la gravità quantistica.

Tuttavia ci sono alcune grosse difficoltà: è impossibile mettere in relazione il tempo come coordinata immaginaria con la geometria differenziale della relatività generale, inoltre la rotazione di Wick si applica solamente in assenza di gravità (cosa essa significhi in uno spazio-tempo genericamente curvo è ancora in fase di studio).

A dire il vero Hawking ha dimostrato che i buchi neri hanno una temperatura equivalente, e dunque emettono radiazione, proprio usando la rotazione di Wick nell'intenso campo gravitazionale attorno ai buchi neri.

Infine è solo la metrica iperbolica normale, cioè quella che considera il tempo una quantità reale e non immaginaria, nel senso che si dà in matematica a questo concetto, che consente di distinguere eventi in relazione causale da eventi causalmente disgiunti.

Nella seconda metà dell’ottocento il matematico britannico Arthur Cayley sviluppò la complessa geometria di spazi a più di tre dimensioni.

Cayley sviluppò un tipo di geometria n-dimensionale che venne applicato in fisica per lo studio del continuum spazio-temporale Einsteniano.

Il suo lavoro sulle matrici servì come fondamento per la meccanica dei quanti, sviluppata da Werner Heisenberg nel 1925.

Cayley suggerì anche che le geometrie euclidea e non-euclidea sono speciali tipi di geometrie, unì la geometria prospettiva con la geometria metrica che prende in considerazione l'ampiezza degli angoli e la linghezza di linee.

Secondo Cayly il quinto postulato “non ha bisogno di dimostrazione, ma è parte delle nostre esperienze- lo spazio, che conosciamo tramite l'esperienza, ma che è la falsa rappresentazione alla fondazione di tutta l'esperienza esterna. Il parere di Riemann è che, avendo nell'intelletto una nozione più generale di spazio (in realtà una nozione di spazio non-Euclideo), impariamo dall'esperienza che lo spazio (lo spazio fisico della nostra esperienza) è, se non esattamente, almeno al grado più alto di approssimazione, Euclideo. Ma supposto che lo spazio fisico della nostra esperienza sia così solo approssimativamente uno spazio Euclideo, che cosa ne consegue? Non che le proposizioni di geometria sono solo approssimativamente vere, ma che rimangono assolutamente vere per quanto riguarda lo spazio Euclideo che è stato ritenuto così a lungo essere lo spazio fisico della nostra esperienza.”.

Il principio di tale teoria può essere compresa con la seguente considerazione: una retta costituisce uno spazio monodimensionale; se per ogni punto di questa retta se ne traccia un'altra, perpendicolare alla prima, si ottiene un piano, ossia uno spazio bidimensionale; se ancora si traccia una retta perpendicolare al piano per ogni suo punto, si giunge finalmente allo spazio a tre dimensioni. 

Lo spazio a quattro dimensioni si ottiene allora nello stesso modo, cioè tracciando una perpendicolare allo spazio per ogni suo punto; pur risultando questa un'operazione fisicamente impossibile e sconcertante per la mente, essa è concettualmente fondata. 

Il concetto di spazio a più di tre dimensioni conta un gran numero di applicazioni in fisica, in particolare nell'ambito della teoria della relatività dal momento che, accostando la coordinata temporale alle consuete coordinate spaziali, impiega un sistema a quattro dimensioni, lo spazio-tempo, per la descrizione dell'evoluzione di un sistema fisico. 

Lo studio delle proprietà delle figure geometriche a quattro o più dimensioni e del loro rapporto con quelle dello spazio tridimensionale è oggetto della così detta geometria strutturale. 

Un esempio di questo approccio è la definizione delle figure più semplici che si possano disegnare nello spazio a zero, una, due, tre, quattro, o più dimensioni, rispettivamente. 

Nei primi quattro spazi elencati, le figure geometriche sono quelle familiari: il punto, la retta, il triangolo e il tetraedro. 

In uno spazio a 4 dimensioni la figura più semplice è costituita da 5 vertici, 10 segmenti che ne costituiscono gli spigoli, 10 triangoli che ne costituiscono le facce, e cinque tetraedri (un tetraedro, utilizzando i medesimi principi di analisi di questo tipo di geometria, è costituito da quattro vertici, sei segmenti, e quattro triangoli). 

Sempre nel XIX secolo si parlò per la prima volta di dimensione frazionaria, concetto questo che fu poi sviluppato da Mandelbrot ed altri a partire dal 1970 nell'ambito della geometria dei frattali. 

Ma l’applicazione più sconvolgente della teoria a più dimensioni, per questo parlavo prima di un Abbot profetico, è la teoria delle stringhe, che ipotizza che la materia sia in realtà la manifestazione di entità fisiche sottostanti, chiamate appunto stringhe.  

L’idea che sta alla base di questa teoria è che queste ipotetiche stringhe vibrino, come le corde di un arpa divina producendo, di fatto, la realtà fisica. 

La teoria delle stringhe è un modello fisico i cui costituenti fondamentali sono oggetti ad una dimensione (le stringhe) invece che di dimensione nulla (i punti) caratteristici della fisica anteriore alla teoria delle stringhe. Per questa ragione le teorie di stringa sono capaci di evitare i problemi di una teoria fisica connessi alla presenza di particelle puntiformi. 

Gli oggetti descritti dalla teoria possono essere di varie dimensioni e quindi essere punti (0 dimensioni) stringhe (1 dimensione) membrane (2 dimensioni) e oggetti di dimensioni superiori, addirittura fino a 26!

Esistono ad oggi due teorie delle stringhe, la prima in ordine temporale è la teoria bosonica delle stringhe è formulata nei termini dell'azione di Nambu-Goto, una quantità matematica che può essere usata per descrivere come le stringhe si muovono attraverso lo spazio e il tempo. 

Applicando le idee della meccanica quantistica all'azione di Nambu-Goto - procedura nota come quantizzazione - si può dedurre che ogni stringa può vibrare in molte modalità diverse, e che ogni stato vibrazionale sembra corrispondere ad una diversa particella. La massa della particella e la maniera in cui essa può interagire sono determinate dal modo in cui la stringa vibra - in pratica, dalla "nota" emessa dalla stringa.

La scala delle note, ognuna corrispondente ad un diverso tipo di particella, è chiamato "spettro" della teoria. 

Questi primi modelli includevano sia stringhe aperte, che hanno due estremi distinti, sia stringhe chiuse, in cui gli estremi sono uniti per formare un anello.

I due tipi di stringa si comportano in modo leggermente diverso, dando origine a due spettri. Non tutte le moderne teorie delle stringhe utilizzano entrambi i tipi: alcune includono solo le stringhe chiuse.  

Dalla teoria delle stringhe si passò a quelle delle superstringhe per spiegare il comportamento di altre particelle elementari oltre quelli della famiglia dei bosni: i fermioni.  

Negli anni 90, Edward Witten ed altri scoprirono prove convincenti che le diverse teorie delle superstringhe rappresentavano limiti diversi di una sconosciuta teoria ad 11 dimensioni chiamata Teoria M. Queste scoperte condussero alla seconda rivoluzione delle superstringhe. 

Sono stati proposti diversi significati per la "M"; i fisici, ironicamente, dicono che il vero significato sarà definito quando si riuscirà finalmente a capire la teoria.  

Molti recenti sviluppi in questo campo fanno riferimento alle D-branes, oggetti che i fisici hanno scoperto di dover includere in ogni teoria che includa le stringhe aperte.  

Le stringhe sono soggette a tensione, più o meno come le tradizionali corde degli strumenti; questa tensione è considerata un parametro fondamentale della teoria.

La tensione della stringa è strettamente collegata alla sua dimensione.  

Si consideri una stringa chiusa ad anello, libera di muoversi nello spazio senza essere soggetta a forze esterne. La sua tensione tenderà a farla contrarre in un anello sempre più stretto. L'intuizione classica suggerisce che essa potrebbe ridursi ad un punto, ma questo contraddirebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La dimensione caratteristica della stringa sarà quindi determinata dall'equilibrio fra la forza di tensione, che tende a renderla più piccola, e l'effetto di indeterminazione, che tende a mantenerla "allargata".

Di conseguenza, la dimensione minima della stringa deve essere collegata alla sua tensione.  

Un’altra caratteristica interessante della teoria delle stringhe è che essa predice il numero di dimensioni che l'Universo dovrebbe avere.

Né la teoria dell'elettromagnetismo di Maxwell né la teoria della relatività di Einstein dicono nulla sull'argomento: entrambe le teorie richiedono che i fisici inseriscano "a mano" il numero delle dimensioni.  

Invece, la teoria delle stringhe consente di calcolare il numero di dimensioni dello spazio-tempo dai suoi principi base. Tecnicamente, questo accade perché il principio di invarianza di Lorenz può essere soddisfatto solo in un certo numero di dimensioni. Più o meno questo equivale a dire che se misuriamo la distanza fra due punti e poi ruotiamo il nostro osservatore di un certo angolo e misuriamo di nuovo, la distanza osservata rimane la stessa solo se l'universo ha un ben preciso numero di dimensioni. 

Il solo problema è che quando si esegue questo calcolo, il numero di dimensioni dell'universo non è quattro, come ci si potrebbe attendere (tre assi spaziali e uno temporale), bensì ventisei. Più precisamente, le teorie bosoniche implicano 26 dimensioni, mentre le superstringhe e le teorie-M risultano richiedere 10 o 11 dimensioni.  

Comunque, questi modelli sembrano in contraddizione con i fenomeni osservati. I fisici di solito risolvono questo problema in uno di due diversi modi. Il primo consiste nel compattare le dimensioni extra; cioè, le 6 o 7 dimensioni extra sono così piccole da non poter essere rilevate nelle nostre osservazioni sperimentali. Riusciamo ad ottenere la risoluzione del modello a 6 dimensioni con gli spazi di Calabi-Yau. In 7 dimensioni, essi sono chiamati collettori G2.  

In sostanza, queste dimensioni extra sono compattate facendole ripiegare su sé stesse.  

Una analogia molto usata per questo è di considerare lo spazio multidimensionale come un tubo di gomma per il giardino. Se guardiamo il tubo da una certa distanza, esso sembra avere una sola dimensione, la sua lunghezza. Questo corrisponde alle quattro dimensioni macroscopiche cui siamo abituati normalmente. Se però ci avviciniamo al tubo, scopriamo che esso ha anche una seconda dimensione, la sua circonferenza. Questa dimensione extra è visibile solo se siamo vicini al tubo, proprio come le dimensioni extra degli spazi di Calabi-Yau sono visibili solo a distanze estremamente piccole, e quindi non sono facilmente osservabili.  La gravità, agendo nelle dimensioni nascoste, produce altre forze non gravitazionali, come l'elettromagnetismo. In linea di principio, quindi, è possibile dedurre la natura di queste dimensioni extra imponendo la congruenza con il modello standard, ma questa non è ancora una possibilità pratica.  

L'uomo non possiede infatti, ad oggi, la tecnologia per osservare le stringhe (che si dice abbiano dimensioni intorno alla lunghezza di Planck, circa 10^-35 metri).  

Potremmo alla fine essere in grado di osservare le stringhe in maniera significativa, o almeno ottenere informazioni sostanziali osservando fenomeni cosmologici che possano chiarire gli aspetti della fisica delle stringhe. 

D’altra parte noi comuni mortali siamo bloccati in un sottospazio a "3+1" dimensioni dell'intero universo, ove il 3+1 ci ricorda che il tempo è una dimensione di tipo diverso dallo spazio.  

Siccome questa idea implica oggetti matematici chiamati D-Branes, essa è nota come Teoria Braneworld.  

Questa varietà di oggetti matematici occupano le altre, invisibili, dimensioni.  Il termine, coniato dagli scienziati, deriva da membranes (membrane), cioè superfici a due dimensioni.

Gli spazi tridimensionali, come l'Universo conosciuto, si chiamano tri-branes, pertanto i fisici si riferiscono all'Universo come al braneworld o "mondo-brane". 

I D-Brane sono classi oggetti matematici derivati dai p-Branes cioè membrane a p dimensioni (dove la D sta per condizioni al contorno di Dirichlet) 

Tutte le particelle standard come i fotoni, i quark ed i leptoni, vivrebbero dunque in un subspazio tridimensionale, come gli abitanti di Flatlandia vivevano in un mondo a due dimensioni.  

Le branes si trovano all'interno delle dimensioni nascoste, note come the bulk o "la grande massa". Mentre la materia e la luce sono confinate dentro le branes, la gravità è in grado di attraversare sia le branes che la massa, le dimensioni nascoste risultano quindi invisibili perché solo la gravità vi può entrare.  

In ulteriori dimensioni l'Universo potrebbe essere estremamente sottile, così come un foglio di carta è grande in due dimensioni ma sottile nella terza: nelle dimensioni nascoste lo spessore dell'Universo visibile misurerebbe appena un dieci-milionesimo di un miliardesimo di millimetro.  

Pertanto altre dimensioni, come la "grande massa", potrebbero contenere infiniti universi. Chissà, magari popolato da misteriosi abitanti. Quando saremo in grado di vedere con gli occhi della matematica attraverso la barriera di queste membrane forse allora il libro di Abbot ritornerà di grandissima attualità. 

 La Musica Primale e la Genesi dei Naturali

Un merito della matematica che pochi oseranno negare: dice in poche parole molto più di tutte le altre scienze.
La formula e^{i π} = -1 esprime un mondo di pensieri, di verità, di poesia, e dello spirito religioso "Dio fa geometria in eterno". (David Eugene Smith)

I numeri primi mi hanno sempre affascinato.

In primis perché sono i mattoni fondamentali sui quali si regge l’intero edificio dell’aritmetica, che, come ebbe a dire Carl Friedrich Gauss, è la Regina della Matetica.

E poi perché i primi hanno proprietà talmente affascinanti ed “esoteriche” da muovere la fantasia di qualunque matematico ad approfondirne il senso di profumato e melodioso mistero che emanano.

Melodioso. Già. Perché i numeri primi hanno molto a che fare con la musica, di cui un giorno spero di poter parlare in questo Blog, da troppo tempo trascurato per problemi personali di cui un giorno forse vi tedierò. Ma, come al solito, la mia drammatica condizione di ingegnere (ah! se mi fossi iscritto in Matematica o Fisica…ormai, direbbe Proietti, ma questa è un’altra storia) mi porta a cominciare dal principio cercando di non divagare.

Ma, a ben pensare, il divagare fa parte di un’altra mia condizione meno drammatica per certi versi: quella di essere un inguaribile siciliano e quindi sognatore per definizione. 

Cominciamo con il numero 1. Numero primo per eccellenza, oserei dire.

Primo perché è il primo numero dopo il non-numero zero.

Primo perché in quella consueta operazione che ordinariamente noi comuni mortali chiamiamo moltiplicazione si comporta da elemento neutro.

In termini informatici diremmo che il numero uno serve a copiare un numero: 14 per 1 fa di nuovo 14.

E così via per ogni numero.

Dall’uno però non abbiamo grandi speranze di costruire gran che finché non peschiamo dal paniere il numero successivo.

Dal momento che stiamo recitando (impunemente) la parte di Dio prendiamo fortunosamente il numero 2 e non, ad esempio il numero 2^24036583-1 (che poi è pure primo e dovrebbe essere, ad oggi, il più grande numero primo di Mersenne).

Dal 2 otteniamo di nuovo 2 moltiplicandolo per 1 ma otteniamo anche un infinità di numeri pari moltiplicando 2x2 =4, 4x2 =8, etc. Ad ogni passaggio gli Angeli si rallegrano e fanno festa: è stato scoperto un nuovo numero, ed un altro ancora.

In un fiat produciamo tutti i numeri potenze di 2. Ad un nostro comando gli Angeli raccolgono i numeri in un secondo paniere, il paniere dei bipotenti.

Ho serie riserve che le cose siano andate nel modo in cui le sto raccontando, ma penso che il Padre Eterno abbia avuto una fantasia maggiore della mia chiamando il paniere in qualche altro modo.

Sebbene siano infiniti, tutti questi numeri non esauriscono ancora i numeri possibili, né tanto meno i numeri pari.

Anche se ancora non li abbiamo scoperti, dal momento che siamo Dio, sappiamo che esistono, ad esempio, il 6, il 12 il 42 che di certo non ne fanno parte.

Andiamo avanti e peschiamo il numero 3.

Moltiplichiamo, al solito, il 3 per se stesso una infinità di volte e poi lo moltiplichiamo per tutti i numeri del panieri dei bipotenti.

Otteniamo un terzo paniere, quello dei tripotenti, ma ci accorgiamo di avere prodotto anche un'altra infinità di numeri pari che mettiamo in un altro paniere, del quale non sveliamo il nome per non suscitare le Ire Divine.

Mettiamo le mani nel paniere dei primi ma non peschiamo il 4. Guardiamo con finta incredulità l’angelo servitore che ci sta a lato.

“Certo” - suggerisce rispettosamente l’Angelo, che regge il piccolo paniere dei numeri primi – “lo avevamo già trovato la seconda volta che avevamo estratto i numeri dal paniere. Col 2 abbiamo costruito il 4 e tutte le potenze di 2.

Troviamo il 5 ed andiamo avanti in un solo eterno istante per tutta l’infinità contenuta nel primo paniere moltiplicando ogni numero trovato con i numeri contenuti nei panieri dei bipotenti, tripotenti, pentapotenti, fino a riempire l’Universo di tutti i numeri interi possibili.

La creazione dei numeri interi è così completa.

Abbiamo inventato il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, noto agli uomini del XXI secolo fin dalla scuola elementare il quale afferma che ogni numero naturale può essere rappresentato in uno e un solo modo come prodotto di primi.

I panieri vengono tutti svuotati e riversati in un altro enorme paniere nel quale, a caratteri di fuoco, è scritto, in una lingua a noi mortali ignota e incomprensibile, semplicemente “numeri della natura”.

L’Angelo che reggeva il paniere è rimasto estasiato dalla creazione dei numeri e si chiede come Dio abbia tirato fuori i numeri primi da quell’unico paniere dal quale poi, come in una miracolosa moltiplicazione dei pani e dei pesci, sono scaturiti tutti gli altri panieri.

Ma il nostro Angioletto, senza farsi vedere dagli altri Angeli - ma noi, che vestiamo per un attimo i panni di Dio ce ne accorgiamo e benevolmente gli sorridiamo complici - sgattaiola e sbirciando sul paniere dei numeri primi si prende la briga di contare con quale cadenza questi numeri miracolosi spuntino per scoprire il ritmo dell’artimetica.

Ma, per quanti sforzi faccia, non gli è dato di capire quale armonia meravigliosa sottenda la melodiosa sinfonia dei primi.

Davvero una mente “razionale” ed elegante, così precisa nel pensare una fisica basata sulla matematica ha lasciato al caso – ma cosa o chi è poi questo caos di cui parlano i mortali? - la scelta dei mattoni primi della stessa matematica? Che Dio abbia giocato a dadi coi numeri - si chiede incredulo il nostro Angioletto?

Oppure noi mortali chiamiamo caos, dadi, caso, ciò che non ci è ancora – o mai – dato di conoscere?

Un Angelo della Matematica, Bernand Reimann, forse più audace o semplicemente più fortunato - o illuminato? – del nostro Angioletto, ci svelò se non l’architettura di quella maestosa sinfonia dei primi, quantomeno il pentagramma e le note – brevi e semibrevi, minime e semiminime, crome, biscrome e semibiscrome - con le quali Dio, quel primo giorno,  suonò la musica dei primi.

Un godibilissimo libro di Marcus Du Sautoy ha come titolo – nell’edizione originale - proprio “The Music of the primes”, “La musica dei primi”.

La teoria degli armonici di Reimann, il nostro angelo illuminato, è l’applicazione del diapason alla curva che descrive il ritmo che il nostro angelo del primo giorno invano cercò di scoprire.

Musica e numeri parlano cioè un linguaggio affine.  

Per tentare di capire l’intuizione geniale di Riemann rimando allo splendido libro di Du Sautoy, che si fa apprezzare per uno stile sobrio davvero alla portata di tutti, anche dei non matematici come il sottoscritto, ed il cui titolo in italiano è “L'enigma dei numeri primi, l'ultimo grande mistero della matematica”

La domanda cruciale che ancor oggi si pongono i matematici è la stessa del nostro Angioletto del primo giorno della creazione: c'è un ordine prevedibile nella serie dei numeri primi, una regola per stabilire ad esempio quale sarà il centesimo o il millesimo numero primo?

Dopo aver dimostrato che esistono infiniti numeri primi chi chiediamo cioè quale sia la loro densità negli interi: ogni quanto spuntano i numeri primi?

Il saper rispondere a questo problema non solo è significativo da un punto di vista teorico, ma ha anche riflessi applicativi poiché alcuni tra i più usati metodi crittografici moderni si basano sulla “facilità” di costruire numeri primi e sulla “difficoltà” di determinare la fattorizzazione di interi.

Se i numeri primi fossero “pochi” sarebbero difficili da costruire e di conseguenza il determinare la fattorizzazione di un intero dato risulterebbe facile. Il risultato più immediato sarebbe il crollo della New Economy ed il proliferarsi di carte di credito clonate ed informazioni riservate trafugate.

Il primo passo nel capire quale fosse la densità dei primi fu fatto alla fine del XVIII secolo da Gauss il quale congetturò che il numero dei primi fino ad un numero dato, chiamiamolo N, purché molto “grande”, fosse dato dal rapporto tra quel numero ed il logaritmo del numero stesso.

Il logaritmo di un numero, il numero della ragione come prova la sua etimologia greca, è, al di là della sua definizione matematica diretta, la funzione inversa dell’unica funzione esistente in matematica con tasso di crescita dato dalla funzione stessa:la funzione esponenziale.

Tale funzione interviene quasi ovunque quando si parla di fenomeni di crescita e processi evolutivi in generale.

Inoltre, la base della funzione esponenziale è un numero trascendente chiamato proprio “e” , da esponenziale che, come il π, la cui interpretazione geometrica è legata al cerchio e nota fin dall’antichità, non può essere ottenuto come soluzione di nessuna equazione polinomiale.

Tuttavia tale numero, chiamato anche numero di Neper, alla base dei logaritmi per l’appunto detti “naturali”, è esprimibile come somma (infinita) dei reciproci dei numeri fattoriali, utili per il calcolo combinatorio.

Il fattoriale di un numero preso dal paniere dei numeri della natura è semplicemente il prodotto di tutti i numeri contenuti nel paniere cominciando da 1 fino al numero dato.

Ad esempio 4!, il fattoriale di 4 è 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

La congettura di Gauss fu dimostrata indipendentemente nel 1896 da Hadamard e de la Vallée Poussin, da allora assunse il nome di Teorema dei Numeri Primi, usando l'idea fondamentale introdotta da Riemann nel 1858: studiare la distribuzione dei primi mediante l'analisi complessa.

Ciò che fece Riemann fu di estendere ai numeri complessi una funzione matematica, la celeberrima funzione zeta, ζ, che aveva a che fare con il prodotto dei numeri contenuti nel paniere dei primi, introdotta da Eulero alla fine del ‘700.

I numeri complessi hanno qualcosa di magico e sottendono alla struttura matematica che si nonno Albert trovò per spiegare lo spazio-tempo.

Il tempo è, infatti, in una dimensione “immaginaria” nel senso che in matematica si dà a tale termine.

Un numero complesso è formato da una parte “reale”, i numeri che conosciamo dall’infanzia, derivati dal paniere creato da Dio, ed una parte “immaginaria”.

Il numero immaginario “i” ha la straordinaria proprietà di fornire -1 se moltiplicato per se stesso.

Da un punto di vista euristico, il Teorema dei Numeri Primi consente di aspettarci che, per N abbastanza grande, esista un primo ogni log N interi circa, ossia che esistano “tanti” numeri primi.

Dato un numero N  ci sono approssimativamente √N quadrati perfetti, circa log₂N potenze di 2 ed approssimativamente log_ΦN numeri di Fibonacci, dove Φ=(1+√5)/2 è il numero aureo, altro numero dalle proprietà sorprendenti e che si ritrova spesso in Natura.

In sintesi i numeri primi, primi anche in questo, sono più abbondanti di altri numeri “importanti”.

Riemann rimescolò i numeri complessi utilizzando la funzione zeta; il punto da cui era partito per elaborare la sua teoria delle funzioni complesse era stato il lavoro compiuto da un altro grande matematico: Cauchy.

Per Cauchy una funzione era definita da un’equazione. Riemann aveva aggiunto la seguente idea: a essere davvero importante era la geometria del grafico definito dall’equazione.

Non essendo possibile disegnare il grafico completo di una funzione in cui si inseriscono numeri immaginari, Riemann aveva bisogno di lavorare in quattro dimensioni per illustrare il suo grafico; la funzione zeta era descritta da un paesaggio in quattro dimensioni: due dimensioni servivano a tracciare le coordinate dei numeri complessi inseriti nella funzione zeta; la terza e la quarta dimensione si potevano poi utilizzare per registrare le due coordinate che descrivono il numero complesso (composto da parte reale e parte immaginaria) prodotto dalla funzione.

Nel paesaggio immaginario di Riemann, fatto di valli, montagne, avvallamenti e canyon quasi caotici, la posizione di tutti i numeri immaginari in cui la funzione va a zero svela ogni cosa; questi punti sono chiamati gli zeri della funzione zeta.

Riemann riuscì a trovare un collegamento diretto tra i numeri primi e i punti situati a livello del mare nel suo paesaggio zeta.  Usando cioè le coordinate di quegli zeri , fu in grado di creare una formula che forniva il numero dei primi non maggiori di N.

La nuova funzione produceva ancora degli errori, ma i calcoli di Riemann rivelavano che tali errori erano notevolmente più piccoli rispetto a quelli prodotti dalla formula di Gauss, vera solo all’infinito e cioè tanto più vera quanto più N è grande.

Riemann comprese che utilizzando i punti della mappa dei numeri immaginari, che segnavano i luoghi in cui il paesaggio zeta era al livello del mare, poteva eliminare quegli errori e ottenere una formula esatta per il conteggio dei numeri primi.

Nel suo paesaggio immaginario, infatti, i numeri primi si convertono allora in musica, perché ciascun punto a livello del mare suona in un certo senso una nota. Ogni zero suona quindi come in un diapason un nota la cui altezza, la cui frequenza, il suo essere acuta o grave è diversa ed è funzione dell’altezza di ogni zero nel paesaggio immaginario di Riemann.

Ognuna di quelle note pure è un’onda sinusoidale, immagine linearizzata, quasi la quadratura di un cerchio, del movimento di un punto su un cerchio.

Le onde sinusoidali, create da Riemann usando gli zeri del suo paesaggio zeta, rivelavano quindi l’esistenza di una struttura armonica nascosta: il mondo immaginario di Riemann aveva generato  semplici onde, note fondamentali, che insieme potevano riprodurre le sottili armonie dei numeri primi.

Note pure, quindi, armoniche fondamentali: compare inaspettatamente l’altro numero, irrazionale e trascendente, fondamentale nella geometria: il  π.

Esiste una formula, a proposito di questi numeri fondamentali, davvero molto bella, che lega tra loro il numero di Neper , e (alla base della funzione esponenziale e dei logaritmi naturali), il numero π (alla base della trigonometria, del cerchio, immagine della perfezione) il numero immaginario i, fondamento dell'analisi complessa e il numero negativo -1, primo tra tutti i numeri interi negativi e numero primo anch'esso: e^{i π} = -1. 

Ad ogni modo la sfida nel capire il pentagramma era posta nello scoprire l’ubicazione di ogni punto a livello del mare.

Riemann si rese conto che, per quanto la disposizione dei numeri primi sembrasse caotica, i punti nella sua mappa erano ordinati, essendo allineati lungo una retta, la retta critica, la retta di Riemann.

Non gli era possibile vedere abbastanza lontano in questo paesaggio per poter affermare che quest’ordine sarebbe sempre stato rispettato, ma ne era così sicuro,non poteva essere diversamente., da scommetterci una congettura. 

Il nostro angelo matematico ipotizzò dunque, come fece qualche anno più avanti Nonno Albert, che Dio non giocò a dadi quel primo giorno: era nata, così, l’ipotesi di Riemann.

Se fosse vissuto abbastanza, forse ne avremmo la dimostrazione.

C’è chi azzarda addirittura che l'ipotesi fosse in realtà stata dimostrata da Riemann ma che, come per Fermat e il suo Ultimo Teorema, fosse troppo lunga per essere scritta al margine dei suoi fogli o forse troppo rivoluzionaria per essere pubblicata.

Forse, invece, l’intuizione di Riemann sui punti a livello del mare è soltanto un’illusione o forse agli estremi orizzonti dei numeri si nascondono delle strutture regolari che dobbiamo ancora scoprire.

La ricerca di una conferma alla convinzione di Riemann, secondo la quale i punti a livello del mare nel suo paesaggio immaginario dovevano trovarsi tutti su una linea retta, ha impegnato e continua a impegnare matematici e fisici, ma, nonostante gli innegabili progressi compiuti, l’enigma dei numeri primi non è ancora stato risolto.

Il gioco iniziato all’alba dei tempi aspetta un nuovo Riemann in grado di chiudere la partita.

Sempre che il buon Dio ci abbia veramente concesso il vantaggio per farcela vincere.

Il paradigma olografico ed il teorema di Bell

"la scelta è solo un'illusione creata apposta tra chi ha potere e chi non ne ha." - Il Merovingio

Un pensiero di 1pensiero al mio post su nonno Albert mi dà la possibilità di approfondire il concetto di non località.

Nel 1935 proprio nonno Albert, che manifestò sempre dubbi sulla completezza della teoria quantistica, pubblicò, insieme a due collaboratori, Boris Podolsky e Nathan Rosen, un articolo nel quale si mise in luce, con un esperimento mentale, ideale, il paradosso Einstein-Podolsky-Rosen , o paradosso EPR.

Anche se esso non fece crollare la meccanica quantistica, pose un dubbio, che rimane tuttora, sul carattere completo di tale teoria.

L’effetto EPR prodotto dal paradosso sarebbe, secondo il nostro geniale nonnetto, “terribile e inaccettabile”, perché implicherebbe un’azione istantanea a distanza tra due oggetti con l’ovvia conseguenza della produzione di un effetto a velocità superiore alla velocità della luce, in aperta contraddizione con la teoria della relatività.

Il “succo” del paradosso EPR è questo: se due oggetti sono stati una volta uniti e poi vengono portati a grande distanza tra loro senza che interagiscano con l’esterno, una modifica prodotta su uno dei due (come per esempio nell’atto di una misurazione o di una scansione) si riproduce contemporaneamente sull’altro, qualunque sia la sua distanza.

Ma i due oggetti non hanno trasmesso alcuna informazione tra loro perché non c’è segnale che possa viaggiare a velocità maggiore della luce: parrebbe esistere, quindi nell’Universo, una specie di telepatia per cui ciascuno dei due oggetti, una volta congiunti e poi separati, "sa" sempre ed immediatamente cosa succede all’altro.

Siamo cioè di fronte ad una paradossale e misteriosa non località che sembra essere intrinseca nella natura stessa delle cose.

In realtà l’esperimento EPR non ci dice che la meccanica quantistica preveda un modo per far viaggiare le informazioni fisiche più veloci della luce.

Nonno Albert tira le orecchie alla teoria quantistica e le rimprovera di mancare di qualche parte essenziale.

Da questo paradosso sono nate le ipotesi che nell’Universo possa valere un principio di non separazione e che tutte le sue parti “siano unite come le dita di una mano”, come ebbe a dire una volta lo stesso Schrödinger, uno dei padri della teoria quantistica.

Proprio in base a questo paradosso nonno Albert ed i suoi collaboratori, cercarono di falsificare la descrizione dello stato quantico enunciata precedentemente; le particelle avrebbero polarizzazioni definite già prima della misura , e sarebbero determinate da variabili supplementari, le cosiddette variabili nascoste, che la fisica dei quanti non prende in considerazione.

Lo stato quantico si limiterebbe a descrivere un insieme di sistemi predisposti in maniera uniforme.

In questo modo si spiegherebbe il fatto che si possono fare previsioni accurate sulla statistica dei risultati di una osservazione condotta su tutti le componenti di tale insieme.

Le proprietà dei singoli sistemi non specificate sono le variabili nascoste per cui non esisterebbe una indeterminazione oggettiva, ma solo la mancanza di conoscenza dei valori di tali variabili nascoste che caratterizzano il sistema.

La fisica classica vincerebbe in tal modo anche nel mondo microscopico.

Con l'esperimento di Alain Aspect dell'istituto di ottica dell'università di Parigi, la fisica quantistica si prende una bella rivincita.

L'esperimento conclusosi nel 1982 e che ha richiesto 8 anni di lavoro, è stata la prima applicazione rigorosa e irrefutabile del Teorema di Bell (un test messo a punto dal fisico irlandese John Bell nel 1964).

Tale teorema è basato su una ineguaglianza che permetteva di passare dalla discussione teorica alla sperimentazione e quindi finalmente di scegliere tra fisica classica e quantistica.

La fisica quantistica prevede che questa ineguaglianza possa essere violata in certe condizioni sperimentali. Fu quello che accadde nel 1982, si eliminarono tutte le influenze possibili degli strumenti di misura fra loro o sulla fonte dei fotoni utilizzati, ma l'ineguaglianza di Bell fu puntualmente violata, e le predizioni della fisica quantistica sono state verificate. Lo stato quantico è in modo intrinseco indeterminato già prima di essere misurato.

David Bohm, geniale fisico quantistico morto nel 1992 ed autore del celeberrimo “Grandezza e miseria del meccanismo. La fisica e il fantasma dell'ultima teoria”, per molti un classico del dibattito epistemologico, è considerato il padre della teoria delle variabili nascoste e sosteneva che la non località quantistica implicava che la realtà oggettiva semplicemente non esiste.

Per Bohm il motivo per cui le particelle subatomiche restano “entangled”, cioè in contatto ed intimamente correlate, indipendentemente dalla distanza che le separa, risiede nel fatto che la loro separazione è semplicemente un’illusione e che, ad un qualche livello di realtà più profondo, queste particelle non sono entità individuali ma estensioni di uno stesso "organismo" fondamentale(!).

La teoria di Bohm postula “variabili nascoste" e un ordine “implicato” o implicito.

Nel 1951 Bohm teorizzò infatti che, oltre ai campi di forza riconosciuti dalla fisica classica e dalla fisica quantistica, esiste nello spazio anche un “potenziale quantistico” che non trasporta energia e non è rilevabile sperimentalmente.

Le particelle ne subiscono gli effetti e se ne servono per comunicare tra loro. Le due particelle che si allontanano sono legate in permanenza da questo potenziale. La misura effettuata su una di queste modifica istantaneamente il potenziale subito dall'altra: da ciò deriverebbe la correlazione osservata fra i risultati delle due misure.

Bohm è stato il più strenuo assertore di una spiegazione casuale della meccanica quantistica ed ipotizza che l'universo sia un gigantesco ologramma (un ologramma è un’immagine tridimensionale proiettata nello spazio per mezzo di un fascio di luce molto coerente, il laser) sostenendo in tal modo che è possibile chiarire non solo molti degli enigmi insoluti della fisica, ma anche quegli accadimenti tuttora misteriosi quali la telepatia, le esperienze extracorporee e di premorte, i sogni lucidi, le guarigioni miracolose, le esperienze religiose e mistiche come sentimenti di una non meglio precisata unità cosmica.

L'olografia è un metodo che consente di registrare immagini fotografiche tridimensionali. Quando l'ologramma viene illuminato con un fascio di luce monocromatica il soggetto diventa visibile: l'immagine ha profondità, e l'osservatore può anche girarvi attorno, per guardarla da dietro

Allo stesso modo, per Bohm, nonostante la sua apparente solidità, l'universo è in realtà un fantasma, un ologramma gigantesco e splendidamente dettagliato, un’illusione creata dai cinque sensi.

Tutto ciò che ci circonda sarebbe quindi energia che assume determinate forme in base alla diversa velocità di vibrazione come se vedessimo un onda nel mare: ci sembra un'entità ben distinta ma è il mare che acquisisce quella determinata forma.

L’aspetto importante dell’interpretazione di Bohm può essere spiegato usando come analogia il concetto di compressione di un file.

Quando si “comprimono” i file di testo, immagine o suoni in un computer, ad esempio, si crea un file “zip”, “jpg” oppure “mp3”, il contenuto del file compresso ci appare,statisticamente parlando, come un rumore casuale.

L’obiettivo della ricetta di una buona compressione è infatti rimuovere tutto l’ordine stabilito da una rappresentazione coerente in altro modo.

Tuttavia se si usa l’algoritmo di decompressione "corretto", si ottiene la “chiave” che rivela l’ordine nascosto nel rumore apparente.

L’ordine implicito di Bohm è qualcosa di simile a questo.

Bohm afferma che questa “chiave” esiste e noi semplicemente non ce l’abbiamo. Ma va addirittura oltre e dice che non possiamo mai averla.

Per spiegare il suo paradigma olografico Bohm fa un esempio interessante.

Supponiamo di osservare un acquario contenente un pesce attraverso due telecamere posizionate diversamente.

Guardando i due monitor, che danno immagini diverse dello stesso pesce, potremmo erroneamente concludere che vi è un legame, un comunicazione misteriosa ed istantanea tra i pesci: quando uno si gira, anche l’altro si girerà; quando uno guarda di fronte a sé, l’altro guarderà lateralmente.